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Bitte beachte die Copyrighthinweise.

Nachdem der Support für mathematische Zeichen in HTML (MathML) noch etwas dürftig ist, sind die ganzen Sonderzeichen mit der Windowsschriftart "Symbol" formatiert.

Falls diese auf deinem System nicht installiert ist, hier die Zeichen:
e = epsilon
g = gamma
S = Summe
D = Delta
s = sigma
p = Pi
t = tau
r = rho
J = Theta
ò = Integralzeichen

1. Mechanik

1.1 Drehmoment

M = F · l

[Nm = N · m]

(+) = Linksdrehsinn (G-UZ)

(-) = Rechtsdrehsinn (UZ)

1.2 Kräftesätze

• Einem Kräftesystem dürfen Kräfte hinzugefügt oder weggenommen werden, wenn sich diese das Gleichgewicht halten (d.h. gleich groß, entgegengesetzt u. auf einer gemeinsamen Wirkungslinie).
• Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden, ohne daß sich ihre Wirkung auf das Kräftesystem ändert.
• Kräfte dürfen parallelverschoben werden, wenn diese Verschiebung durch ein Drehmoment kompensiert wird.
• Das Moment eines Kräftepaares ist unabhängig vom Drehpunkt, es kann beliebig verschoben oder durch ein anderes ersetzt werden.

1.3 Gleichgewichtsbedingungen

S F_X = 0; S F_Y = 0; S M_Z = 0

F_X = F·cos(a)

F_Y = F·sin(a)

F_x und F_y greifen am Körper an und sind reine Kräfte parallel zu den Koordinatenachsen, M berücksichtigt Kräfte mit Normalabstand. a zwischen x-Achse und Kraft (UZ-S).

Wirkende Momente bei S M addieren (M -> Kräftepaar).

1.4 Freimachen von Bauteilen

• Seile können nur Zugkräfte in Seilrichtung aufnehmen
• Zweigelenkstäbe (Pendelstütze) können Zug- und Druckkräfte in Richtung der Verbindung der beiden Angriffspunkte aufnehmen, keine Kraft zwischen den Befestigungspunkten.
• Berührungsflächen können Normal- und Tangentialkräfte aufnehmen
• Rollkörper in Ruhe nehmen nur Tangentialkräfte auf,
  Rollkörper in Bewegung nehmen Tangentialkräfte und Radialkräfte auf.
• Einwertige Lager nehmen nur Kräfte senkrecht zur Stützfläche auf
• Zweiwertige Lager nehmen Kräfte in jeder beliebigen Lage auf.
• Gelenke (bewegliche Verbindung zweier Bauteile) können Kräfte, jedoch keine Momente übertragen.

Ist die Richtung unbekannt -> Komponenten einzeichnen!

1.5 Kräfteverfahren

Vor der Anwendung sollte der wesentliche Körper freigemacht werden (Achtung: Kräfte, die auf Körper wirken, einzeichnen; nicht die, die er auf seine Umgebung ausübt)

3-Kräfteverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung unbekannter (Stütz-)Kräfte für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

1 Kraft komplett gegeben, 1 Wirklinien und 1 Angriffspunkt.

4-Kräfteverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung unbekannter (Stütz-)Kräfte für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

1 Kraft komplett gegeben, 3 Wirklinien der anderen Kräfte.

ACHTUNG: Die Resultierende wirkt von Anfangs zu Endpunkt der Einzelkräfte (also gegen den Einbahnverkehr im Krafteck), eine Stützkraft schließt das Krafteck (Einbahnverkehr, Gleichgewicht).

Seileckverfahren

Zielsetzung:

Zusammenfassen unbekannter Kräfte zu einer Resultierenden

Ausgangsvoraussetzung:

Kräfte komplett gegeben, Wirklinie und Angriffspunkt der Resultierenden nicht gegeben.

Schlußlinienverfahren

Zielsetzung:

Ermittlung von 2 unbekannten (Stütz-)Kräften für Gleichgewicht

Ausgangsvoraussetzung:

Kräfte komplett gegeben, 2 Angriffspunkte der Zwei Resultierenden gegeben.

1.6 Fachwerke

Vor der Ermittlung der inneren Kräfte müssen die äußeren rechnerisch/zeichnerisch ermittelt werden.

Vor der Lösung sollten immer die Stäbe (1, 2, ...) und während der Lösung die Knoten (röm. I, II, ...) der Reihe nach bezeichnet werden.

ACHTUNG: gleiche Stabkraft wirken in 2 den Knoten entgegengesetzt !!

1.6.1 Einzelkraftecke (zeichnerisch)

Für jeden Knoten ein Krafteck zeichnen:

1. Einzeichnen der bekannten Kräfte
2. falls unbekannte Kräfte <= 2 -> Knoten lösbar
3. Richtung: Einbahnverkehr
4. Zug oder Druck ?:
   Richtung im Lageplan direkt am Knoten eintragen.
   Falls Stab auf Knoten drückt und Knoten zurückdrückt -> Druckstab.
   Falls Stab am Knoten anzieht -> Zugstab.
5. Markieren von Zug- u. Druckstäben:
   Druck: 1- Zug: 1+

1.6.2 Cremonaplan (zeichnerisch)

Beim Cremonaplan werden alle Einzelkraftecke in einem Gesamtbild vereinigt.

Zusätzlich zu Kraftecken beachten:

• Kraftecke in einzelnen Knoten müssen wieder geschlossen sein.
• Kraftecke konsequent im od. gegen Uhrzeigersinn entwickeln, d.h. angreifende Kräfte nicht nach Index von Lageskizze übertragen, sondern nach (Gegen)Uhrzeigersinn.
  Immer an vorige Pfeilspitze anschließen (bis auf letzte Kraft).

1.7 Schwerpunktslehre

Bei sym. Körper Schwerpunkt auf Symmetrieachse!

3 Schwerpunktslagen: stabil, labil, indifferent.

1.7.1 Linienschwerpunkt

• Zuerst Körper in lösbare Flächen zerlegen, dann Tabelle:

  n	ln [cm]	xn[cm]	ln·xn
  1	wert	wert	wert
  2	wert	wert	wert
  ....	werte	werte	werte
  S	lges	--	S lnxn

  l_n jeweilige Länge

  x_n jeweiliger Schwerpunktsabstand einer Grundform

• Danach x₀ berechnen aus:
  lx₀ = l₁x₁ + l₂x₂ + ... + l_nx_n = S l_nx_n

  -> x₀ = S l_nx_n / l_ges

Zeichnerisch mit Seileck:

wie Flächenschwerpunkt., nur Kraftlänge ist Umfang (egal ob Rechteck oder Kreis, etc.)

Schwerpunkt einfacher Körper:

vgl. Tabellen

1.7.2 Flächenschwerpunkt

• Zuerst Körper in lösbare Flächen zerlegen, dann Tabelle:

  n	An [cm2]	xn[cm]	An·xn
  1	wert1	wert2	w1·w2
  2	wert3	wert4	w3·w4
  ....	±werte	werte	±werte
  S	Ages	--	S Anxn

  A_n jeweilige Fläche

  x_n jeweiliger Schwerpunktsabstand einer Grundform

  Ausgestanzte Flächen bei A_n und A_n·x_n subtrahieren!

  Falls Bezugspunkt in Mitte, kann auch x_n neg. werden.

• Danach x₀ berechnen aus:
  Ax₀ = A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_nx_n = S A_nx_n
  -> x₀ = S A_nx_n / A_ges

Zeichnerisch mit Seileck:

X und Y getrennt; "Kraft"länge ist Fläche, Schnittpunkt der "resultierenden" Wirklinie ist Schwerpunkt.

Schwerpunkte einfacher Körper:

vgl. Tabellen

1.7.3 Guldinsche Regeln

Körper in mehrere Teilstücke zerlegen und Schwerpunkt (Linie/Fläche) bestimmen, dann:

1.7.3.1 Oberflächenberechnung (= Mantel)

Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse.

Die Fläche ist Produkt aus Länge der Profillinie und Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung:

A = 2× p × x_0× l = 2× p × S l_nx_n

l ........ Länge der Profillinie

x₀ ...... Schwerpunktsabstand der Profillinie von Drehachse (Linienschwerpunkt)

1.7.3.2 Volumsberechnung

Volumen von Drehkörpern entstehen durch Drehung ihrer Querschnittsfläche um die Symmetrieachse.

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihren Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung:

V = 2× p × x_0× A = 2× p × S A_nx_n

A ....... Profilfläche

x₀ ...... Schwerpunktsabstand der Profilfläche von Drehachse(Flächenschwerpunkt)

1.7.4 Standsicherheit

Es muß eine eindeutige Kippachse geben.

Standsicherheit ist definiert:

S = M_S / M_K

M_S ..... Standmoment

M_K ..... Kippmoment

falls stabil -> S >= 1 (M_S >= M_K)

1.8 Reibung

1.8.1 Gleitreibung, Haftreibung, allg.

F_R = µ F_N

F_R ...... Reibungskraft [N]

F_N ...... Normalkraft [N]

µ ........ Gleitreibzahl [1]

µ₀ ....... Haftreibzahl [1]

Bewegter Körper erfährt weniger Widerstand:
Haftreibzahl > Gleitreibzahl

Winkel, ab dem liegender Körper zu rutschen beginnt:

r = arctan (µ) r ₀ = arctan (µ)

1.8.2 Schiefe Ebene s. Buch

1.8.3 Reibung an Maschinenteilen s. Buch

1.8.4 Gewindereibung

Dreieck mit Höhe P und Umfang 2·p ·r₂ (r₂ Flankendurchmesser) und Belastung ergeben schiefe Ebene.

1.8.4.1 Flachgewinde

F_u = F tan(a ± r )

(+) heben, (-) senken

a ....... Winkel der schiefen Ebene

F ....... Kraft, die am Gewinde axial durch F_u entsteht

F_u ..... Kraft, die waagrecht am Umfang wirkt

1.9 Zahnräder s. Buch

1.10 Festigkeitslehre

1.10.1 Schnittverfahren

Bei der Ermittlung der Inneren Kräfte und Spannungen wird des Werkstück der gewünschten Stelle geteilt und durch innere Gegenkräfte wieder ins Gleichgewicht gebracht.

Pol für die Momentbestimmung ist egal (Statik).

1.10.2 Grundbegriffe

Dehnung e [1] ist die Längenänderung bezogen auf die Ursprungslänge: e = D l/l₀

mit: D l = l - l₀

Querdehnung e _q [1] ist die Dickenänderung bezogen auf die Ursprungsdicke: e _q = D d/d₀

mit D d = d - d₀

Poisson-Zahl µ [1] ist das Verhältnis von Querdehnung zu Dehnung: µ = e _q/e

Es gilt: µ <= ½.

Max. bei Gummi mit 0,5 (V_gummi = const); m _Stahl = 0,3

Volumsänderungs-Zahl e [1] ist das Verhältnis von Volumsänderung zu Ursprungsvolumen und ist über e und µ ausdrückbar: e = D V/V₀ = (1-2µ )· e

Bei Zug positives e, bei Druck negatives e.
Klammer immer positiv d.h.: µ <= ½.

Hookesche Gesetze:

s = e · E

t = g · G

s ,t .... Spannung [N/mm²]

e ........ Dehnung [1]

g ....... Schiebung [rad]

E ....... Elastizitätsmodul [N/mm²]

G ....... Schubmodul [N/mm²]

Zusammenhänge durch Umformen:

2G·(µ + 1) = E

D l = (F·l₀)/(A·E)

1.10.3 Zug- und Druckbeanspruchung

s _Zvorh = F_N /A <= s _Zzul

s _Dvorh = F_N /A <= s _Dzul

F_N ..... innere Normalkraft [N]

s ........ Spannung [N/mm²]

A ....... Fläche

Die Fläche ist immer der kleinste, "gefährdete" Querschnitt.

1.10.3.1 A_gef Zugbeanspruchung

Für die Berechnung wird immer der kleinste am ganzen Bauteil auftretende Querschnitt verwendet.

Profilstab mit Querbohrung:

A_gef = A_Stab - A_Bohrung =d ² p /4 - 2r·d₁

d ....... Durchmesser des Profilstabs

d₁ ...... Bohrungsdurchmesser

Unter Vernachlässigung der kleinen Fläche oben und unten.

Gewinde:

Bei Gewinden wird der Spannungsquerschnitt A_S verwendet (Tabellen).

Bei Bewegungsgewinden (z.B. Trapezgewinde) nimmt man den Kernquerschnitt.

1.10.3.2 Wärmespannung

Längenänderung D l eines Stabes:

D l = l₀·a ·D J

Wärmespannung s _J aufgrund Längenänderung:

s _J = a ·D J ·E

a ......... Längenausdehnungskoeffizient [K^-1] a _st=12·10^-6 K^-1

E ......... Elastizitätsmodul [N/mm²]

Die Wärmespannung ist unabhängig von den Abmessungen des Stabes

1.10.3.3 Formänderungsarbeit

Zug- und Druckbeanspruchung:

Sie entspricht der Fläche unter der F-l Kurve:

W_f = ò F dl

Formänderungsarbeit W_f [J] im elastischen Bereich eines Werkstoffs (lineare Zunahme der Kraft; Dreiecksfläche):

W_f = ½·F·D l = (s ²·V)/(2·E) = (F²·l₀)/(2·A·E)

Auf das Volumen bezogen ergibt sich:

u = W_f /V = ò s de

Dieses u entspricht der Fläche unter der Hookeschen Kurve.

1.10.3.4 Volums- u. Gestaltänderungsarbeit

Bei Zug-/Druckbeanspruchung.

Volumsänderungsarbeit durch Volumsänderung:

u_V = s ² (1-2µ )/(6·E)

Gestaltänderungsarbeit durch Gestaltänderung:

u_G = s ² (1+µ )/(3·E)

1.10.4 Abscherbeanspruchung (Schub)

t _{a vorh} = F_q /S <= t _zul

t ...... Schubspannung [N/mm²]

F_q .... Querkraft

S ...... Fläche, an der die Abscherung auftritt,Fehlerquelle!

Definition g :

g = Verschiebung D l / Schnittuferabstand l₀

z.B. bei einem Würfel, dessen gegenüberliegende Seitenflächen gegeneinander verschoben werden.

Für kleine Winkel (Normalfall): tan(g ) ungefähr g

1.10.5 Flächenpressung

p_vorh = F_N /A <= p_zul

p ...... Flächenpressung [N/mm²]

F_N .... Kraftkomponente, welche normal auf Fläche wirkt

A ...... Berührungsfläche

Bei Wellen, Kegeln od. sonstigen Schrägen ist p leichter ermittelbar, wenn man die projizierte Fläche, auf die die Kraft wirkt, verwendet:

p = F/A_proj

Am Gewinde: Wirksam sind mehrere Kreisringe aus der Fläche, an dem die Zähne aufliegen.

1.10.6 Zul. Spannungen

Für ruhende Belastung gilt:

s _Zzul = 0,6 · R_e

Die zulässige Spannung hängt von der Beanspruchungsart (z.B. GG hat verschiedene R_e bei Zug, Druck, Biegung, ...), von der Temperatur und von der Belastungsart (ruhend, schwellend, wechselnd) ab.

Beispiele für Namen:

s _Zsch ....... Zugbeanspruchung schwellend

t _aWzul ...... zul. Abscherspannung bei wechselnder Belastung

1.10.7 Flächen- u. Widerstandsmomente

Flächenmomente 1. Grades bei Guldin (S A_n·x_n)

Flächenmomente 2. Grades I [mm⁴]:

erhält man, in dem man jedes Flächenteilchen D A mit dem Abstandsquadrat q² (von Bezugsachse oder Bezugspunkt) multipliziert und addiert:

I = ò q² dA

Widerstandsmoment W [mm³]

erhält man durch den Bezug von I auf den Randfaserabstand (Biegung: e_x, e_y, Torsion: r)

W = I/e; W_p = I/r

X/Y-Achse: Bezugsachse ist jene neutrale Faser, um die gebogen oder gedreht wird.

1.10.8 Biegebeanspruchung s _b

1.10.8.1 Biegehauptgleichung:

s _bvorh = M_b /W <= s _bzul

s _bvorh ... Biegespannung [N/mm²]

M_b ...... Biegemoment [Nm], [Nmm²]

W ....... axiales Widerstandsmoment [mm³]

1. gilt nur, wenn die Stabachse nicht gekrümmt ist (Kranhaken).
2. Alle F in einer Ebene mit Stabachse.
3. Querschnitte bleiben bei Beanspruchung eben (keine Wellen od. Verformungen).
4. Es gilt das Hookesche Gesetz.
5. E-Modul ist für Zug und Druck gleich.
6. Spannungen bleiben unter Proportionalitätsgrenze.

Vor der Ermittlung des F_q und M_b-Verlaufs immer Lagerkräfte und -momente berechnen.

Für richtiges Vorzeichen bei allen F u. M von der gleichen Seite beginnen! Für jeden Knotenpunkt (incl. ganz linken) Gegenkraft u. -moment bestimmen.

1.10.8.2 Querkraftverlauf

Nur Normalanteil der Kraft relevant.
Oftmalige Anwendung des Schnittverfahrens.
Einfacher: Auf Träger rückwärtsschreitend von links nach rechts gehen, F_q immer so groß wie die Summe der Kräfte, die man sieht.

Am Anfang und Ende eines Träger immer null.

Pos. und neg. Fläche muß gleich groß sein.

Normale Kräfte: || X-Achse

Streckenlast: linearer Anstieg

1.10.8.3 Biegemomentenverlauf, M_bmax

Rechnerisch:

Oftmalige Anwendung des Schnittverfahrens. M_bmax mit Kurvendiskussion.
Einfacher: M_b entspricht der F_q-Fläche (Vorzeichen beachten)

M_bmax tritt immer an Nullstelle von F_q auf.

Graphisch:

Lagerkräfte mit Schlußlinienvefahren ermitteln, Kräfte der Reihe nach auftragen (z.B. l.n.r in F-Plan entspricht o.n.u. in Krafteck).

M_bmax = y_max·H·M_K·M_L

y_max ... max. Abstand zwischen Seilstrahlen [mm]

H ....... Polabstand (Normalabstand Krafteck-Pol) [mm]

M_K .... Kräftemaßstab [N/mm] [kN/mm]

M_L .... Längenmaßstab [m/mm]

Beim Einsetzen der Maßstäbe sollten sich die Einheiten von y_max und H wegkürzen.

An freien Enden eines Träger immer null.

Wo F_q positiv, steigt M_b und umgekehrt.

Desto größer F_q, desto stärker steigt M_b.

Normale Kräfte: linearer Anstieg

Streckenlast: parabolischer Verlauf

1.10.8.4 Rahmen

Zuerst immer Lagerkräfte berechnen (Rahmen als einen Körper betrachten), dann in mehrere Träger aufspalten.

Achtung: An Knoten können Sprungstellen M_b auftreten.

1.10.8.5 Durchbiegung

• Allgemein:
  f = A_M·x₀ / (E·I)
• Freiträger
  mit Einzellast am Ende: F·l³/(3·E·I)
  mit Streckenlast: F·l³/(8·E·I)
• Stützträger
  mit Einzellast im Mitte: F·l³/(48·E·I)
  mit Streckenlast: 5·F·l³/(384·E·I)

f ....... Durchbiegung

A_M ... Momentenfläche (A unter M_b-Kurfe)

x₀ ..... Schwerpunktsabstand

l ....... Gesamtlänge des Trägers

F ...... Kraft

Überlagerungsprinzip bei gemischter Belastung gilt!

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Letztes Update vom 24.Sept.2004 von Florian Rosenauer